Che cosa intendiamo sostanzialmente per calcolo tensoriale e quali sono alcuni usi della matematica e della fisica superiori?

grazie per a2a. Ecco cos’è un tensore : se a è un vettore di colonna come è b, il prodotto esterno ab ‘ è il prodotto Kronecker di aeb scritto come [matematica] \ bf {a} \ otimes \ bf {b}. [/ matematica]

Il motivo per cui emerge così tanto ha a che fare con il fatto che se ho un elenco di risultati ae un elenco di risultati b, l’elenco di risultati a coppie è ab ‘. Il vero potere delle operazioni tensore è quando abbiamo molte molte liste. Supponiamo quindi di avere un elenco di 10 scelte possibili nella prima domanda di un esame a risposta multipla, 7 sulla seconda domanda e tre sulla terza domanda. Indico le prime potenziali risposte come vettore di dimensione 10, la seconda come vettore di dimensione 7 e la terza come vettore di dimensione 3, a, b, c rispettivamente. Quindi l’elenco dei possibili risultati se uno studente (cattivo) indovina le risposte in [matematica] \ bf {a} \ otimes \ bf {b} \ otimes \ bf {c}. [/ Math]

Questo non può essere espresso con i normali operatori di matrici vettoriali. Guarda anche:

La risposta di Allan Steinhardt a Le matrici possono avere voci che sono matrici?

La risposta di Allan Steinhardt a Quali sono i migliori libri da cui imparare i tensori per la prima volta?

La risposta di Allan Steinhardt a Come viene descritto un tensore nella matematica della relatività nei termini dei laici?

La risposta di Allan Steinhardt a Qual è il significato fisico del valore di Eigen, il ket e il reggiseno di Dirac e perché sono diversi l’uno dall’altro?

Quando io (come un dilettante interessato, ma relativamente non addestrato) ho iniziato a cercare di capire la relatività e altri soggetti che usano i tensori, ho subito trovato la definizione di un tensore n-dimensionale dell’ordine k come una raccolta di [matematica] n ^ k [/ matematica] numeri che potrebbero essere moltiplicati da vettori covarianti e contravarianti da varie regole e che si sono trasformati da un insieme di formule terribili che coinvolgono tonnellate di derivati ​​parziali, ecc. Lavorare con loro è stato un disastro, e non ho mai ho capito, non ho mai avuto una risposta chiara.

Quando ho letto Gravitation , di Misner, Thorne e Wheeler, hanno cercato di lavorare il più possibile in uno stile senza coordinate. Le coordinate, dopo tutto, sono solo un modo per fare calcoli e non sono una caratteristica “reale” della fisica. Hanno definito un tensore come una funzione che ha preso zero o più vettori e zero o più vettori doppi e ha restituito un numero reale. Un tensore deve anche essere lineare in tutti i suoi argomenti.

In base a tale formulazione, l’applicazione parziale di un tensore produce un altro tensore di ordine inferiore (ad esempio, [matematica] U (\ vec {v}) = T (\ vec {u}, \ vec {v}) | _ {\ vec { u} = \ vec {a}} [/ math]), che è l’equivalente di “contrazione” usando la notazione “Einstein” [matematica] U ^ j = T ^ {ij} v_i [/ ​​math]. Poiché tutto è lineare, i tensori di ordine 0 sono simili agli scalari, i tensori di ordine 1 sono simili ai prodotti interni, i tensori di ordine 2 sono simili alle trasformazioni lineari, ecc. Il ruolo dei vettori e dei loro doppi assume il ruolo di covariante e vettori contraddittori.

Per me ha funzionato. Come scienziato informatico, posso occuparmi di funzioni, un’applicazione parziale che restituisce altre funzioni, ecc. Posso occuparmi di non dovermi preoccupare delle coordinate. Sono in grado di soddisfare il requisito secondo cui un campo tensore continuo è un campo in cui ogni punto nello spazio ha un tensore associato ad esso e punti vicini hanno tensori “vicini”. Preferisco di gran lunga non avere a che fare, a cui non pensare, goccioline di coordinate.

Sfortunatamente, quasi ogni altro trattamento dei tensori è fortemente incorporato nell’uso delle coordinate e la notazione della sommatoria di Einstein dilaga.